21點：被數學家痛虐的賭場遊戲
賭場總有著許多「一夜暴富」的神話。
在眾多造神活動中，數學家封神又最讓人信服。
2012年曾有「澳洲19名數學家組團豪賭，狂贏156億」的傳奇，但很快就被證明是假消息。
那麼數學到底能不能讓人在賭場無往不利？
能，只要選對了遊戲。
在賭場少有真正的公平，總是莊家贏面略大，但在眾多遊戲中，還有一種能通過計算機率達到49%的勝率。
那就是21點（Blackjack）*，職業賭徒的看家本領。
*註：就像鬥地主中的王炸，初始牌拿到A與10則稱作「黑傑克（Blackjack）」，直接取勝，這也是21點又名「Blackjack」的原因。
相較於德州撲克、老虎機這些賭場遊戲，21點親民得多。
撲克中兩張鬼牌先剔除，其餘的牌2~9分別記作2~9點，10、J、Q、K記作10點，A視情況記作1或11點。
遊戲的勝負判定很簡單，執牌雙方將手牌點數相加，通過比大小決定輸贏。
總數相加最大只能21點，超過21點則為「爆牌」直接失敗，數字相同則為平局。
而帶有賭場特色的21點，規則更為繁複。
遊戲雙方分為莊家、玩家，所有玩家只需和莊家比大小。
通常莊家會在半圓形牌桌上應戰5~7名玩家，因為撲克牌一般也為兩副及兩副以上。
莊家由賭場方擔任，玩家各自決定單局籌碼，隨後遊戲開始！
首回合，玩家與莊家各獲得兩張初始牌，一張翻開一張合上。
隨後而玩家可以選擇：拿一張牌（Hit）、結束拿牌（Stand）。
當然，如果局勢大好也可以選擇賭注翻倍並拿牌（Double）。
還有一種情況，當兩張初始牌相同，可將它們分開，另外壓一份賭注，再次補充至兩張，相當於同一局玩兩次（Split）。
如果局勢不佳，有的賭場還允許選擇認輸（Surrender）。
等所有玩家結束拿牌後，莊家看牌，並按規則操作：大等於17點則不拿牌，反之拿牌直至17點，爆牌則所有玩家獲勝。
21點並不複雜，感覺更像依靠運氣的遊戲。
但實則不然，21點的樂趣頗似魔方，不懂的時候只能隨意玩玩，一旦把握了公式就像打開了新世界的大門。
作為一款被數學家一直欺負的遊戲，絕對是有它好欺負的一面。
法國曾宣稱21點發源於他們國家的「Vingt-et-un遊戲（20和1遊戲）」。
也有研究認為，現代21點最早可追溯至20世紀早期印度的地下賭博。
可以確定的是，19世紀的美國大陸確實開始流行21點。
於1931年，內華達州宣布賭博合法化，21點開始公開出現在賭博俱樂部，一舉成為繼骰子遊戲後最風行的莊家遊戲。
2008年上映的美國賭博電影《決勝21點》，正是圍繞21點開展的故事。
影片中，主角所在的麻省理工學院，有一個秘密團隊Blackjack Team。
這個以高智商成員組建的團隊，便是靠著鑽研數學技巧在21點賭桌上取勝。
正是這部電影將賭徒諺語「Winner winner，chicken dinner」，首次捧火。
電影中的吃雞大神，在現實中的原型叫馬愷文。
馬愷文被譽為華裔賭神名號，憑藉團隊和數學，在賭場大賺500萬美元從而名震算牌界。
馬愷文在MIT讀大三時，是個品學兼優的三好學生。
一次他受邀參加一個21點算牌興趣組，原以為這只是一個以21點為攻略對象的數學研討小組，卻不料上了賊船。
馬愷文天賦異稟，很快受到神秘教授（從沒有人願意透露他的身份）的認可，成為了小組的核心靈魂。
隨後，被選召的孩子們在教授的帶領下，開始到賭場實踐。
他們不斷打磨技術、調整策略，終於走上贏錢道路。
第一次贏錢時，馬愷文還給自己買了塊2000美元的手錶，一直保留至今。
他們將賭場當提款機，每周就帶著10萬美元去贏幾十萬美元。
賭場也不傻，他們很快被列入黑名單，經常一進場就被服務員「請出」賭場。
為了繼續提款，他們只得喬裝打扮混入場，有時是穿金戴銀的土豪、有時是下班發洩慾望的職員……
在90年代中期，他們就以20來歲的年紀享受在賓館裡數錢為樂的生活。
但Blackjack Team所使用的技巧並非什麼絕密神技。
只需將21點的遊戲，細細拆分便能理解。
之所以將21點說成是賭場最容易贏錢的遊戲，是因為在掌握最佳策略的情況下，玩家勝率高達49%。
而最佳策略也不難掌握，其實就是「算機率」。
以下計算部分，對數學很暴躁的請跳過看圖。
假設玩家初始牌點數為12點，莊家明牌為7，計算拿牌與結束拿牌兩種選擇的勝率。
①選結束拿牌（Stand）時，獲勝情況僅一種：
莊家爆牌，設機率為P（S）
莊家的另一張牌有13種可能性，機率計算如下
F（T+7）時，莊家不抽牌則不爆牌，不考慮
（以T代表10、J、Q、K）
F（9+7）時，抽中6~T則爆牌，F（9+7）=8/13
……
以此類推，最終P（S）=∑F=0.26231
②選拿牌（Hit）時，獲勝情況兩種：
莊家爆牌，玩家不爆；莊家玩家均不爆牌，但玩家更大，設機率為P（H）
爆牌機率同上，但還得算上玩家情況，即（1-4/13）
不爆牌獲勝，則有以下可能
1.玩家拿到21點，莊家拿到20~17點
2.玩家拿到20點，莊家拿到19~17點
3.玩家拿到19點，莊家拿到18和17點
4.玩家拿到18點，莊家拿到17點
以最簡單的情況4作計算
先分析，玩家從12到13，只有抽到A一種可能
因此設W（12）=1
則W（13）=W（12）*1/13=0.07692
以此可推算W（18）
而莊家拿17點，用同理可算Z（17）
P4=W（18）+Z（17），同理可算P1、P2、P3
P（H）=P1+P2+P3+P4+P（S）*9/13=0.43577
對比，P(H)>P（S），因而當玩家手牌為12，莊家明牌為7時，應該選擇Hit為最優策略。
最優策略能幫玩家做出正確選擇，將勝率拉至49%，數學的威力可見一斑。
但明眼人肯定能發現，最優策略也不是很好。
不僅將抽所有牌機率當作1/13，同時最優策略勝率也不能保證50%以上。
有什麼方法可以再提高一下勝率？這個問題也困擾了不少數學家。
Blackjack的戰術——高低數法是最先突破瓶頸的。
高低法確實誕生於MIT，但不是馬愷文的傑作。
真正的發明人同樣傳奇，是MIT教授愛德華·索普。
就是他開啟了數學虐21點的時代。
愛德華·索普（Edward Thorpe）
索普始終認為，數學是解開賭博的最終密鑰。
真正開啟21點之路的是一篇論文：《二十一點撲克遊戲的最佳策略》（Roger Baldwin著）。
按Baldwin的策略估測，以1美元一把下注，玩1000把也只用交給賭場6美元手續費。
索普一學會這套方法，就奔赴拉斯維加斯大展身手，結果吃了好幾個月的土。
他決定改進Baldwin的方法。
在香農的建議下，他研究出制勝秘訣1.0，還發表了論文《財富公式：二十一點的制勝秘訣》。
這時紐約最大的莊家找上了他，決定投資他。
他毫不猶豫的答應了，居然真的贏出第一桶金。
隨後他寫了一本書《戰勝賭場》，內容以數學研究為主，將高低數法公諸於世。
所謂高低數法（H-L法）說起來很簡單。
將2~6記作1，7~9記作0，T、A記作-1，通過簡單的加減法快速記住場上牌的變化。
而高低數法認為，當餘下的牌中，大牌越多，則對玩家有利（莊家更容易拿到大牌而爆牌），反之亦然。
例如已經出現了，4、9、10、5、J、A、8，則現在點數是-1，逆風局。
在實際運用中，還需要計算真數，真數=點數/N副牌。
如點數為5，而莊家共使用5副牌發牌，則真數為1。
真數越大贏面越大，真數越小則贏面越小。
因為索普的一本書，當時許多人都去賭場博21點。
不過賭場有意防範，真如索普一樣封神的並不多。
而且高低數法只不過提高了2%的勝率，只有掌握好壓注技巧，才能保證一定回合後不虧錢。
就算是Blackjack team，也是經過大量訓練，才有可能賺個盆滿缽滿。
2004年黑傑克錦世界標賽
其實，不論是最優策略，還是高低數法，都是為了削弱莊家優勢。
莊家優勢是指在長遠期限下，莊家占有數學優勢，以確保賭場最終賺錢。
儘管每一次遊戲的結果都是隨即或是說相互獨立的，但總的來說，會趨向一個預期值，或稱假設回扣。
這也就導致，儘管短期可能賺錢，但長期來說還是會趨向於虧本。
黑色直線以上為賺以下為虧，藍色斜線為假設回扣
為了減少這種莊家優勢，數學就派上了用場。
通過正確的決策思維，規避不必要的錯誤，奪取百分之幾的優勢。
但這百分之幾投映到長遠期限下，回報很驚人。
可以說，這就是數學家與賭場數學的一場博弈。
談及數學的博弈，自然不可避免提到凱利公式。
凱利公式由約翰·凱利於1956年在《貝爾系統技術期刊》發表。
凱利公式是為了計算下注比例，當知道獲勝率與賠率，可以推算出下注比例以求最大化收益。
John Kelly與他的凱利公式
凱利公式的要點就在於如何推算獲勝率。
因此凱利提出凱利公式時，就建立在有內線提供獲勝率情報的情況下。
但這個公式硬是被他的同事索普運用在21點上。
索普不需要內線，用高低數法自己推測情報。
推算獲勝率，給出最佳下注比例，大賺一筆。
數學家憑藉異乎常人的計算能力自然能與賭場較量一番，同時也說明了一件事：
神仙打架，凡人莫近。
